解と係数の関係

\(2\) 次方程式の解と係数の関係

\(x^2\) の係数が \(1\) の \(2\) 次方程式 \(x^2+bx+c=0\) の \(2\) つの解を \(\alpha,\beta\) とすると
\(x^2+bx+c=(x-\alpha)(x-\beta)\) と因数分解できます。

右辺を展開すれば
\(x^2+bx+c=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\)

両辺の係数を見比べて

\(\alpha+\beta=-b\)　・・・解の和と \(x\) の係数は符号違い
\(\alpha\beta=c\)　　・・・解の積と定数項は等しい

これを \(2\) 次方程式の解と係数の関係といいます。

一般的には、\(a=1\) とは限定しません。

一般の場合も頭に入れつつも、「\(x^2\) の係数が \(1\) のとき」を覚えて利用することをおススメします。

例題１

\(2\) 次方程式 \(2x^2+3x-6=0\) の \(2\) つの解を \(\alpha,\beta\) とするとき、次の式の値を求めなさい。

（１）\(\alpha+\beta\)
（２）\(\alpha \beta\)
（３） \(\alpha^2+\beta^2\)

（４）\(\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\displaystyle \frac{1}{\beta}\)

解説

まずは、\(x^2\) の係数を \(1\) にします。
そして、 \(2\) 次方程式の解と係数の関係を使いましょう。

\(2x^2+3x-6=0\)
\(x^2+\displaystyle \frac{3}{2}x-3=0\)

（１）\(\alpha+\beta\)

解の和と \(x\) の係数は符号違いです。
よって、\(\alpha+\beta=-\displaystyle \frac{3}{2}\)

（２）\(\alpha \beta\)

解の積と定数項は等しいので、
\(\alpha\beta=-3\)

（３） \(\alpha^2+\beta^2\)

対称式は基本対称式の組合せに変形する定番パターンです。
\(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)
より、(１)，(２) の結果を代入すると

\((-\displaystyle \frac{3}{2})^2-2\cdot(-3)=\displaystyle \frac{33}{4}\)

（４）\(\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\displaystyle \frac{1}{\beta}\)

\(\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\displaystyle \frac{1}{\beta}=\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\)

より、(１)，(２) の結果を代入すると

\(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\)

\(=(\alpha+\beta)÷\alpha\beta\)

\(=-\displaystyle \frac{3}{2}÷(-3)\)

\(=\displaystyle \frac{1}{2}\)

例題２

\(2\) 次方程式 \(x^2-4x+6=0\) の \(2\) つの解を \(\alpha,\beta\) とするとき、 \(2\alpha,2\beta\) を解とする \(2\) 次方程式を \(1\) つ作りなさい。

解説

\(2\alpha,2\beta\) を解とする \(2\) 次方程式の \(1\) つは
\(x^2-(2\alpha+2\beta)x+2\alpha×2\beta=0\)
です。
※この式を実数倍したすべてが、\(2\alpha,2\beta\) を解とする \(2\) 次方程式です。

解と係数の関係から

\(\alpha+\beta=4\)
\(\alpha\beta=6\)
よって、
\(2\alpha+2\beta=8\)
\(2\alpha×2\beta=4\alpha\beta=24\)

より、求める \(2\) 次方程式は \(x^2-8x+24=0\)

例題３

和が\(5\) 、積が \(7\) であるような \(2\) 数を求めなさい。

解説

求める \(2\) 数を\(\alpha,\beta\) とすると、
\(\alpha+\beta=5\)
\(\alpha\beta=7\)
つまり、
\(x^2-5x+7=0\) の解が、\(\alpha,\beta\) である。

方程式を解きます。

\(x=\displaystyle \frac{-(-5)±\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot7}}{2\cdot1}\)

\(=\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{3}i}{2}\)

別解

求める \(2\) 数を\(\alpha,\beta\) とすると、
\(\alpha+\beta=5\) ・・・①
\(\alpha\beta=7\)・・・②
ここから、 \(2\) 次方程式の解と係数の関係に持ち込む上の解き方は、「自然な流れ」というよりも、よくこんな解き方気づきましたねという解き方です。

数学において、関係式が \(2\) つ、未知数が \(2\) つあれば、連立して解くのが一般的（どんなときも使える汎用性のあるやり方）です。

① \((\alpha=-\beta+5)\) を ② \((\alpha\beta=7)\) に代入すると
\((-\beta+5)\beta=7\)
\(-\beta^2+5\beta=7\)
\(-\beta^2+5\beta-7=0\)
\(\beta^2-5\beta+7=0\)
結局、さきほどの \(2\) 次方程式が得られましたね。

あとはこれを解けば

\(\beta=\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{3}i}{2}\)

解のどちらが \(\alpha\) でどちらが \(\beta\) かは問題じゃないのです（定まりません、どちらでもいいのです）。

よって、求める \(2\) 数は \(\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{3}i}{2}\) です。