いろいろな因数分解
様々なパターンの因数分解を見ていきましょう。
一見してやり方がわからないものも、一度やり方を見て覚えればいいのです。
類題と出会ったときに、再現することができればいいのです。
例題１
次の式を因数分解しなさい。
\((x-1)^2-4(x-1)+4\)
解説
\(x-1=X\) とおくと
与式は、
\(X^2-4X+4\)
\(=(X-2)^2\)
\(=\{(x-1)-2\}^2\)
\(=(x-3)^2\)
例題２
次の式を因数分解しなさい。
\(x^2+6x+9-y^2\)
解説
\(x^2+6x+9-y^2\)
\(=(x^2+6x+9)-y^2\)
\(=(x+3)^2-y^2\)
\(=\{(x+3)+y\}\{(x+3)-y\}\)
\(=(x+y+3)(x-y+3)\)
例題３
次の式を因数分解しなさい。
\((x^2-3x-12)(x^2-3x-2)+16\)
解説
\(x^2-3x=X\) とおくと
\((x^2-3x-12)(x^2-3x-2)+16\)
\(=(X-12)(X-2)+16\)
\(=X^2-14X+24+16\)
\(=X^2-14X+40\)
\(=(X-4)(X-10)\)
\(=(x^2-3x-4)(x^2-3x-10)\)
\(=(x+1)(x-4)(x+2)(x-5)\)
例題４
次の式を因数分解しなさい。
\(x(x+1)(x+2)(x+3)+1\)
解説
\(=x(x+3)×(x+1)(x+2)+1\)
\(=(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1\)
\(x^2+3x=X\) とおくと
\(=X(X+2)+1\)
\(=X^2+2X+1\)
\(=(X+1)^2\)
\(=(x^2+3x+1)^2\)
例題５
次の式を因数分解しなさい。
\((x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24\)
解説
\(=(x+2)(x+5)×(x+3)(x+4)-24\)
\(=(x^2+7x+10)(x^2+7x+12)-24\)
\(=(x^2+7x)^2+22(x^2+7x)+120-24\)
\(=(x^2+7x)^2+22(x^2+7x)+96\)
\(=(x^2+7x+6)(x^2+7x+16)\)
\(=(x+1)(x+6)(x^2+7x+16)\)