センター試験・過去問研究
センター試験の過去問を徹底解説します。
センター試験とはどれくらいのレベルの問題が出るのか、どのような出題があるのか、まずは経験値をつみましょう！
\(\overrightarrow{ OA } = \overrightarrow{ a }\)、\(\overrightarrow{ OB } =\overrightarrow{ b }\)、\(\overrightarrow{ OC } = \overrightarrow{ c }\) とおく。さらに、 \(3\) 点 \(D,E,F\) を、\(\overrightarrow{ OD } = \overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }\)、\(\overrightarrow{ OE } =\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }\)、\(\overrightarrow{ OF } = \overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ c }\) となるようにとり、線分 \(BD\) の中点を \(L\) 、線分 \(CE\) の中点を \(M\) とし、線分 \(AD\) を \(3:1\) に内分する点を \(N\) とする。
（１）\(\overrightarrow{ OM }, \overrightarrow{ ON }\) は、\(\overrightarrow{ a },\overrightarrow{ b },\overrightarrow{ c }\) を用いて
\(\overrightarrow{ OM }=\displaystyle \frac{1}{ア}\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }\)
\(\overrightarrow{ ON }=\overrightarrow{ a }+\displaystyle \frac{イ}{ウ}\overrightarrow{ b }\)
と表される。
筆者注 続く
空間に異なる \(4\) 点 \(O,A,B,C\) を \(\overrightarrow{ OA } \perp \overrightarrow{ OB }\)、\(\overrightarrow{ OB } \perp \overrightarrow{ OC }\)、\(\overrightarrow{ OC } \perp \overrightarrow{ OA }\) となるように作図します。
下図のようになります。
さらに、 \(3\) 点 \(D,E,F\) を、\(\overrightarrow{ OD } = \overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }\)、\(\overrightarrow{ OE } =\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }\)、\(\overrightarrow{ OF } = \overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ c }\) となるようにとると下図のようになります。
つまり、直方体についての問題です。
さて、この直方体ですが、各辺の長さについての情報はまったくありません。
ですので、適当な長さで図示して解いていけばよいのですが・・・
もちろん「立方体」で図示して解いても構いません。
※結果論ですが、本問は立方体で作図するメリットは特にありません。もちろんデメリットもありませんが。
とりあえず立方体で解き進めてみましょう。
\(L,M,N\) も入れます。
では、解いていきましょう。
まずは、\(\overrightarrow{ OM }\) です。
図から明らかに
\(\overrightarrow{ OM }=\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }\)
より、ア＝２
次に、\(\overrightarrow{ ON }\)
図から明らかに
\(\overrightarrow{ ON }=\overrightarrow{ a }+\displaystyle \frac{3}{4}\overrightarrow{ b }\)
より、イ＝３、ウ＝４
では続きです。
\(\overrightarrow{ OP }=(エ-\displaystyle \frac{s}{オ})\overrightarrow{ a }+s \overrightarrow{ b }+(カ-s)\overrightarrow{ c }\)
と表される。
\(s=\displaystyle \frac{キ}{ク}\) のとき、\(\overrightarrow{ MP }=\displaystyle \frac{ケ}{コ}\overrightarrow{ MN }\) となるので、\(M,N,P\) は一直線上にある。よって、\(2\) 直線 \(FL,MN\) が交わることがわかる。
線分 \(FL\) を \(s:(1-s)\) に内分する点が \(P\) なので、下図のようになっています。
\(\overrightarrow{ OP }=(1-s)\overrightarrow{ OF } +s\overrightarrow{ OL }\)
なので、\(\overrightarrow{ OF }\) と \(\overrightarrow{ OL }\) を \(\overrightarrow{ a },\overrightarrow{ b },\overrightarrow{ c }\) を用いて表します。
\(\overrightarrow{ OF }=\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ c }\)
\(\overrightarrow{ OL }=\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }\)
これを、\(\overrightarrow{ OP }=(1-s)\overrightarrow{ OF } +s\overrightarrow{ OL }\) に代入して、
\(\overrightarrow{ OP }=(1-s)(\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ c }) +s(\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b })\)
\(=(1-\displaystyle \frac{s}{2})\overrightarrow{ a }+s \overrightarrow{ b }+(1-s)\overrightarrow{ c }\)
より、エ＝１、オ＝２、カ＝１
点 \(P\) を \(3\) 次元の見取り図の中にかかなくても解けましたね。
では次です。
話題が突然、\(\overrightarrow{ MP }\) と \(\overrightarrow{ MN }\) になりましたが、直前まで、\(\overrightarrow{ OP }\) について考察していました。
ですから当然、
\(\overrightarrow{ MP }=\overrightarrow{ OP }-\overrightarrow{ OM }\) を計算します。
\(\overrightarrow{ OM }=\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }\)
\(\overrightarrow{ OP }=(1-\displaystyle \frac{s}{2})\overrightarrow{ a }+s \overrightarrow{ b }+(1-s)\overrightarrow{ c }\)
は前に求めたものですね。
よって、
\(\overrightarrow{ MP }=\overrightarrow{ OP }-\overrightarrow{ OM }\)
\(=(1-\displaystyle \frac{s}{2})\overrightarrow{ a }+(s-\displaystyle \frac{1}{2})\overrightarrow{ b }-s\overrightarrow{ c }\)
また、\(\overrightarrow{ MN }=\overrightarrow{ ON }-\overrightarrow{ OM }\) で、
\(\overrightarrow{ ON }=\overrightarrow{ a }+\displaystyle \frac{3}{4}\overrightarrow{ b }\)
も（１）で求めているので、
\(\overrightarrow{ MN }=\overrightarrow{ ON }-\overrightarrow{ OM }\)
\(=\overrightarrow{ a }+\displaystyle \frac{1}{4}\overrightarrow{ b }-\overrightarrow{ c }\)
\(\overrightarrow{ MP }=\displaystyle \frac{ケ}{コ}\overrightarrow{ MN }\) となるそうなので、\(\overrightarrow{ MP }\) と \(\overrightarrow{ MN }\) の係数を比較します。
\(\overrightarrow{ MP }=(1-\displaystyle \frac{s}{2})\overrightarrow{ a }+(s-\displaystyle \frac{1}{2})\overrightarrow{ b }-s\overrightarrow{ c }\)
\(\overrightarrow{ MN }=\overrightarrow{ a }+\displaystyle \frac{1}{4}\overrightarrow{ b }-\overrightarrow{ c }\)
\(\overrightarrow{ c }\) の係数を比べて
\(\overrightarrow{ MP }=s\overrightarrow{ MN }\) とわかります。
\(\overrightarrow{ MP }=(1-\displaystyle \frac{s}{2})\overrightarrow{ a }+(s-\displaystyle \frac{1}{2})\overrightarrow{ b }-s\overrightarrow{ c }\)
\(s\overrightarrow{ MN }=s\overrightarrow{ a }+\displaystyle \frac{1}{4}s\overrightarrow{ b }-s\overrightarrow{ c }\)
次は、\(\overrightarrow{ a }\) と \(\overrightarrow{ b }\) のどちらの係数比較でも良いのですが、\(\overrightarrow{ a }\) の係数に着目すれば、
\(s=(1-\displaystyle \frac{s}{2})\)
\(s=\displaystyle \frac{2}{3}\)
より、キ＝２、ク＝３
また、\(\overrightarrow{ MP }=s\overrightarrow{ MN }\) もわかったので、
\(\overrightarrow{ MP }=\displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{ MN }\)
より、ケ＝２、コ＝３
※ \(s=\displaystyle \frac{2}{3}\) で、\(\overrightarrow{ b }\) の係数がうまくいっているか確かめれば、答えに自信が持てますね！
\(s-\displaystyle \frac{1}{2}=\displaystyle \frac{1}{4}s\) なので、\(s=\displaystyle \frac{2}{3}\) で間違いないことがわかります。
参考・図示をして中学数学的に解く
図で解くこともできます。
下図の黄色い三角形が相似です。
\(\triangle CFM \backsim \triangle DLN\) より、\(FM /\!/ NL\) です。
このことから、水色の四角形 \(FNLM\) がのる平面があることがわかります。
\(MN\) と \(FL\) は同一面上にあり、交わることがわかります。
\(MN\) と \(FL\) の交点はこの後、\(G\) と名付けられるので、ここでもそうします。
上図の緑三角形が相似です。
\(\triangle GMF \backsim \triangle GNL\) です。
相似比は、\(MF:NL=2:1\) です。
より、対応する辺 \(MG:GN=FG:GL=2:1\)
よって、\(MG=\displaystyle \frac{2}{3}MN\)
これで、キ、ク、ケ、コが求まりました。
\(\overrightarrow{ OG }=\displaystyle \frac{サ}{シ}(ス\overrightarrow{ a }+セ \overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })\)
\(\overrightarrow{ GF }=\displaystyle \frac{サ}{シ}(\overrightarrow{ a }-セ \overrightarrow{ b }+ソ\overrightarrow{ c })\)
と表される。
\(|\overrightarrow{ a }|=\sqrt{5}\)、\(|\overrightarrow{ b }|=4\)、\(|\overrightarrow{ c }|=\sqrt{3}\) とする。このとき、\(|\overrightarrow{ GF }|=タ\)、\(|\overrightarrow{ GM }|=2\) となる。
\(G\) とは、\(s=\displaystyle \frac{2}{3}\) のときの \(P\) のことですから、
\(\overrightarrow{ OP }=(1-\displaystyle \frac{s}{2})\overrightarrow{ a }+s \overrightarrow{ b }+(1-s)\overrightarrow{ c }\)
に、\(s=\displaystyle \frac{2}{3}\) を代入して、
\(\overrightarrow{ OG }=(1-\displaystyle \frac{ \frac{2}{3}}{2})\overrightarrow{ a }+\displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{ b }+(1-\displaystyle \frac{2}{3})\overrightarrow{ c }\)
\(=\displaystyle \frac{1}{3}(2\overrightarrow{ a }+2 \overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })\)
より、サ＝１、シ＝３、ス＝２、セ＝２
別解
先ほど求めたことは以下の図です。
内分の公式より、
\(\overrightarrow{ OG }=\displaystyle \frac{1}{3}\overrightarrow{ OM }+\displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{ ON }\)
\(\overrightarrow{ OM }=\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }\)
\(\overrightarrow{ ON }=\overrightarrow{ a }+\displaystyle \frac{3}{4}\overrightarrow{ b }\)
を代入して、
\(\overrightarrow{ OG }=\displaystyle \frac{1}{3}(2\overrightarrow{ a }+2 \overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })\)
より、サ＝１、シ＝３、ス＝２、セ＝２
次に、\(\overrightarrow{ GF }\) です。
\(\overrightarrow{ GF }=\overrightarrow{ OF }-\overrightarrow{ OG }\)
\( \overrightarrow{ OF }=\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ c }\) なので、
\(\overrightarrow{ GF }=(\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ c })-\displaystyle \frac{1}{3}(2\overrightarrow{ a }+2 \overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })\)
\(\overrightarrow{ GF }=\displaystyle \frac{1}{3}(\overrightarrow{ a }-2 \overrightarrow{ b }+2\overrightarrow{ c })\)
より、ソ＝２
別解
\(s=\displaystyle \frac{2}{3}\) なので、
\(\overrightarrow{ GF }=\displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{ LF }\)
また、\(\overrightarrow{ LF }=\displaystyle \frac{1}{2}(\overrightarrow{ a }-\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })\)
なので、
\(\overrightarrow{ GF }=\displaystyle \frac{1}{3}(\overrightarrow{ a }-2 \overrightarrow{ b }+2\overrightarrow{ c })\)
次です。
\(\overrightarrow{ GF }=\displaystyle \frac{1}{3}(\overrightarrow{ a }-2 \overrightarrow{ b }+2\overrightarrow{ c })\) から、
\(|\overrightarrow{ GF }|^2\) を計算するのは・・・
さすがに面倒です。
図なしでも解けるのがベクトルの強みですが、図と共に解くのがベストです。
\(|\overrightarrow{ LF }|\) は直方体の対角線です。
\(|\overrightarrow{ GF }|=\displaystyle \frac{2}{3}|\overrightarrow{ LF }|\)
\(|\overrightarrow{ LF }|=\sqrt{(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2})^2+4^2+(\sqrt{3})^2}=\displaystyle \frac{9}{2}\)
よって、\(|\overrightarrow{ GF }|=\displaystyle \frac{2}{3}|\overrightarrow{ LF }|=3\)
より、タ＝３
参考
図形的に解くことを完全に捨てている人は、式処理でおします。それでも以下のように解けますが・・・
\(|\overrightarrow{ GF }|^2=|\displaystyle \frac{1}{3}(\overrightarrow{ a }-2 \overrightarrow{ b }+2\overrightarrow{ c })|^2\)
\(=\displaystyle \frac{1}{3^2}(|\overrightarrow{ a }|^2+4|\overrightarrow{ b }|^2+4|\overrightarrow{ c }|^2\)\(-4\overrightarrow{ a }\cdot\overrightarrow{ b }-8\overrightarrow{ b }\cdot\overrightarrow{ c }+4\overrightarrow{ c }\cdot\overrightarrow{ a })\)
ここで、
\(|\overrightarrow{ a }|=\sqrt{5}\)、\(|\overrightarrow{ b }|=4\)、\(|\overrightarrow{ c }|=\sqrt{3}\)
\(\overrightarrow{ a }\cdot\overrightarrow{ b }=0\)
\(\overrightarrow{ b }\cdot\overrightarrow{ c }=0\)
\(\overrightarrow{ c }\cdot\overrightarrow{ a }=0\)
を代入して、
\(|\overrightarrow{ GF }|^2=\displaystyle \frac{1}{3^2}(5+4\cdot16+4\cdot3)\)
\(=\displaystyle \frac{81}{3^2}\)
\(|\overrightarrow{ GF }| \gt 0\) なので、
\(|\overrightarrow{ GF }|=3\)
それほど面倒な計算ではありませんけども。
\(\overrightarrow{ GF }\cdot \overrightarrow{ GH }\)、\(\overrightarrow{ GM }\cdot \overrightarrow{ GH }\) は、\(t\) を用いて
\(\overrightarrow{ GF }\cdot \overrightarrow{ GH }=チt+\displaystyle \frac{ツテ}{ト}\)・・・①
\(\overrightarrow{ GM }\cdot \overrightarrow{ GH }=2t+\displaystyle \frac{10}{3}\) ・・・②
と表される。
がっつり式処理をします。
内積がらみは中学数学的な図形処理は無理です。
\(\overrightarrow{ GF }=\displaystyle \frac{1}{3}(\overrightarrow{ a }-2 \overrightarrow{ b }+2\overrightarrow{ c })\)
\(\overrightarrow{ GH }=\overrightarrow{ OH }-\overrightarrow{ OG }\)
なので、\(\overrightarrow{ GH }=-\displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{ a }-\displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{ b }+(t-\displaystyle \frac{1}{3})\overrightarrow{ c }\)
より、
\(\overrightarrow{ GF }\cdot \overrightarrow{ GH }\)\(=-\displaystyle \frac{2}{9}|\overrightarrow{ a }|^2+\displaystyle \frac{4}{9}|\overrightarrow{ b }|^2+\displaystyle \frac{2}{3}(t-\displaystyle \frac{1}{3})|\overrightarrow{ c }|^2\)
\(=-\displaystyle \frac{10}{9}+\displaystyle \frac{64}{9}+2t-\displaystyle \frac{2}{3}\)
\(=2t+\displaystyle \frac{16}{3}\)
より、チ＝２、ツテ＝１６、ト＝３
\(|\overrightarrow{ GF }|=タ\)、\(|\overrightarrow{ GM }|=2\) と \(\angle FGH=\angle MGH\) であることから
\(\overrightarrow{ GF }\cdot \overrightarrow{ GH }=\displaystyle \frac{ナ}{ニ}\overrightarrow{ GM }\cdot \overrightarrow{ GH }\)・・・③
が成り立つ。①、②、③から、\(t=\displaystyle \frac{ヌ}{ネ}\) である。
\(タ=3\) は既に求めています。
\(\overrightarrow{ GF }\cdot \overrightarrow{ GH }=3|\overrightarrow{ GH }| \cos \angle FGH\)
\(\overrightarrow{ GM }\cdot \overrightarrow{ GH }=2|\overrightarrow{ GH }| \cos \angle MGH\)
より、\(\angle FGH=\angle MGH\) のとき、
\(\overrightarrow{ GF }\cdot \overrightarrow{ GH }=\displaystyle \frac{3}{2}\overrightarrow{ GM }\cdot \overrightarrow{ GH }\)・・・③
より、ナ＝３、二＝２
いよいよ最後です。
① \(\overrightarrow{ GF }\cdot \overrightarrow{ GH }=2t+\displaystyle \frac{16}{3}\)
② \(\overrightarrow{ GM }\cdot \overrightarrow{ GH }=2t+\displaystyle \frac{10}{3}\)
③ \(\overrightarrow{ GF }\cdot \overrightarrow{ GH }=\displaystyle \frac{3}{2}\overrightarrow{ GM }\cdot \overrightarrow{ GH }\)
より、
\(2t+\displaystyle \frac{16}{3}=\displaystyle \frac{3}{2}(2t+\displaystyle \frac{10}{3})\)
より、\(t=\displaystyle \frac{1}{3}\)
より、ヌ＝１、ネ＝３
以上、求まりました。