センター試験・過去問研究
センター試験の過去問を徹底解説します。
センター試験とはどれくらいのレベルの問題が出るのか、どのような出題があるのか、まずは経験値をつみましょう！
点 \(P\) が
\(\overrightarrow{ PA }\cdot \overrightarrow{ PB }=\displaystyle \frac{5}{4}\)・・・①
を満たしながら動くとき、三角形 \(OCP\) の面積の最小値を求めよう。
以下、\(\overrightarrow{ OA }=\overrightarrow{ a }\)、\(\overrightarrow{ OB }=\overrightarrow{ b }\)、\(\overrightarrow{ OP }=\overrightarrow{ p }\) とおく。
まず、点 \(P\) の動く範囲を考えよう。①は、\((\overrightarrow{ a }-\overrightarrow{ p })\cdot (\overrightarrow{ b }-\overrightarrow{ p })=\displaystyle \frac{5}{4}\) であるから、
\(\overrightarrow{ a }\cdot \overrightarrow{ b }=ア\) に注意すると
\(|\overrightarrow{ p }|^2-(\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b })\cdot \overrightarrow{ p }+\displaystyle \frac{イ}{ウ}=0\)
と書き換えられる。これはさらに
\(|\overrightarrow{ p }-\displaystyle \frac{\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }}{エ}|=\sqrt{オ}\)
と書き換えられる。点 \(M\) を \(\overrightarrow{ OM }=\displaystyle \frac{\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }}{エ}\) となるように定めると、点 \(P\) は、\(M\) を中心とする半径 \(\sqrt{オ}\) の円周上を動く。
筆者注 続く
解説
まずは図示です。ベクトルは図形の問題ですからね。視覚的にクリアーにしながら解き進めましょう。
下図のようになります。
この図は一発でかけなくてかまいません。
大雑把な下書きを薄く素早くかいたあとに、調整してかくのです。
\(60°\) は正三角形を意識してかかないといけません。
フリーハンドで正三角形をさらっと書く練習は必須ですよ！
さて、\(\overrightarrow{ a }\cdot \overrightarrow{ b }=ア\) ですが、
内積の定義通りに計算するだけです。
\(\overrightarrow{ a }\cdot \overrightarrow{ b }=|\overrightarrow{ OA }||\overrightarrow{ OB }| \cos 60°=2\cdot3\cdot \displaystyle \frac{1}{2}=3\)
より、ア＝３
次は、\(|\overrightarrow{ p }|^2-(\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b })\cdot \overrightarrow{ p }+\displaystyle \frac{イ}{ウ}=0\)
直前に、
\((\overrightarrow{ a }-\overrightarrow{ p })\cdot (\overrightarrow{ b }-\overrightarrow{ p })=\displaystyle \frac{5}{4}\) であるから、\(\overrightarrow{ a }\cdot \overrightarrow{ b }=ア\) に注意すると
とあるので、このあたりから導かれそうです。
\((\overrightarrow{ a }-\overrightarrow{ p })\cdot (\overrightarrow{ b }-\overrightarrow{ p })=\displaystyle \frac{5}{4}\)
の左辺を展開します。
\(\overrightarrow{ a }\cdot \overrightarrow{ b }-\overrightarrow{ a }\cdot \overrightarrow{ p }-\overrightarrow{ p }\cdot \overrightarrow{ b }+|\overrightarrow{ p }|^2=\displaystyle \frac{5}{4}\)
\(3-(\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b })\cdot \overrightarrow{ p }+|\overrightarrow{ p }|^2=\displaystyle \frac{5}{4}\)
\(|\overrightarrow{ p }|^2-(\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b })\cdot \overrightarrow{ p }+\displaystyle \frac{7}{4}=0\)
より、イ＝７、ウ＝４
これはさらに
\(|\overrightarrow{ p }-\displaystyle \frac{\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }}{エ}|=\sqrt{オ}\)
と書き換えられる。とあります。
よって、式変形によってこの式が導けるようです。
これは平方完成が思いついて欲しい所。
\(|\overrightarrow{ p }|^2-(\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b })\cdot \overrightarrow{ p }+\displaystyle \frac{7}{4}=0\) は、
\(|\overrightarrow{ p }-\displaystyle \frac{\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }}{エ}|^2={オ}\)
と変形できそうじゃないですか。
\(2\) 次関数の平方完成をするのと同様に式変形をしましょう。
\(|\overrightarrow{ p }|^2-(\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b })\cdot \overrightarrow{ p }+\displaystyle \frac{7}{4}=0\)
\(|\overrightarrow{ p }-\displaystyle \frac{\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }}{2}|^2-|\displaystyle \frac{ \overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }}{2}|^2+\displaystyle \frac{7}{4}=0\)・・・①
ここで、
\(|\displaystyle \frac{ \overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }}{2}|^2\) を求めます。
\(|\displaystyle \frac{ \overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }}{2}|^2\)
\(=\displaystyle \frac{1}{4}(|\overrightarrow{ a }|^2+2\overrightarrow{ a }\cdot \overrightarrow{ b }+|\overrightarrow{ b }|^2)\)
\(=\displaystyle \frac{1}{4}(2^2+2\cdot3+3^2)\)
\(=\displaystyle \frac{19}{4}\)
これを式①に代入して、
\(|\overrightarrow{ p }-\displaystyle \frac{\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }}{2}|^2-\displaystyle \frac{19}{4}+\displaystyle \frac{7}{4}=0\)
\(|\overrightarrow{ p }-\displaystyle \frac{\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }}{2}|^2=3\)
両辺の平方根をとります。明らかに正なので、
\(|\overrightarrow{ p }-\displaystyle \frac{\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }}{2}|=\sqrt{3}\)
より、エ＝２、オ＝３
この式は、点 \(P\) が \(AB\) の中点を中心とする半径 \(\sqrt{3}\) の円周上を動くことを示しています。
さて続きです。
\(\overrightarrow{ OH }=t \overrightarrow{ OC }\) と表すと、\(\overrightarrow{ OC } \cdot \overrightarrow{ MH }=カ\) であることから、\(t=\displaystyle \frac{キ}{ク}\) となる。
このとき、 \(|\overrightarrow{ MH }|=\displaystyle \frac{ケ\sqrt{コ}}{サ}\) であるから、点 \(P\) が①を満たしながら動くとき、点 \(P\) と直線 \(OC\) の距離の最小値は
\(\displaystyle \frac{\sqrt{シ}}{ス}\) となる。
したがって、三角形 \(OCP\) の面積の最小値は \(\displaystyle \frac{\sqrt{セ}}{ソ}\) である。
解説
\(\overrightarrow{ OC } \perp \overrightarrow{ MH }\) なのですから、\(\overrightarrow{ OC } \cdot \overrightarrow{ MH }=0\) はあたりまえですね。
より、カ＝０
さて、とりあえず、今までにわかったことを図示しておきましょう。
点 \(P\) が点 \(M\) を中心とする半径 \(\sqrt{3}\) の円周上を動くということがわかったのです。
\(M\) は \(AB\) の中点です。目分量でとります。半径 \(\sqrt{3}\) も目分量で書くしかありませんね。\(\sqrt{3}=1.73\cdots\) は必須知識です。
正しい円をかくことは無理ですから、ここは概略図と割り切ります。
さて、次は \(\overrightarrow{ OH }=t \overrightarrow{ OC }\) の \(t\) を求めます。
点 \(H\) を図示します。ここでは円はいらないですね。
この \(t\) を求めるということは、\(OC\) と \(OH\) の辺の長さの比を求めるということだとわかります。ベクトルを使わなくたって求まりそうですね。
\(M\) は \(AB\) の中点なのですから、下図のようになっています。
つまり、\(AB\) 間の \(OC\) と平行な方向の距離は \(1+1.5=2.5\)
よって、中間地点は \(2.5÷2=1.25\)
つまり、\(OH=1.25-1=0.25\) です。
\(OC=1\) ですから、
\(\overrightarrow{ OH }=\displaystyle \frac{1}{4} \overrightarrow{ OC }\)
より、\(t=\displaystyle \frac{1}{4} \)
キ＝１、ク＝４
別解
これを図形で解かず、ベクトルの機械的な計算処理で解くと以下のようになります。
直前に
\(\overrightarrow{ OH }=t\overrightarrow{ OC }\)
\(\overrightarrow{ OC } \cdot \overrightarrow{ MH }=0\)
とあるので、これを計算します。
\(\overrightarrow{ MH }=\overrightarrow{ OH }-\overrightarrow{ OM }\) なので、
\(\overrightarrow{ MH }=t\overrightarrow{ OC }-\displaystyle \frac{\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }}{2}\)
これを内積 \(\overrightarrow{ OC } \cdot \overrightarrow{ MH }=0\) の式に代入すると、
\(\overrightarrow{ OC } \cdot (t\overrightarrow{ OC }-\displaystyle \frac{\overrightarrow{ a }+\overrightarrow{ b }}{2})=0\)
この計算を進めていくと、
\(t=\displaystyle \frac{1}{4} \)
が得られます。
図形的に解けるときは、それを利用しない手はありません。正しい図をかいて解く練習を心がけましょう。
さて続きです。
\(|\overrightarrow{ MH }|=\displaystyle \frac{ケ\sqrt{コ}}{サ}\)
これも図を見ればすぐ解けますね。ベクトルの煩雑な計算をする必要は一切ありません。
クリーム色の三角定規型三角形の高さ、\(\sqrt{3}\) と
赤い三角定規型三角形の高さ、\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) の半分、\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\) の和が、\(HM\) の長さです。
\(MH=|\overrightarrow{ MH }|=\sqrt{3}+\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}=\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{4}\)
より、ケ＝５、コ＝３、サ＝４
さて最後のパートです。
\(\displaystyle \frac{\sqrt{シ}}{ス}\) となる。
したがって、三角形 \(OCP\) の面積の最小値は \(\displaystyle \frac{\sqrt{セ}}{ソ}\) である。
解説
これは図を見れば明らかです。また、図を見ないと無理です。解けません！
円の半径は \(\sqrt{3}\) でしたから、\(MP=\sqrt{3}\)
\(HP=MH-MP=\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} \)
より、シ＝３、ス＝４
また、 三角形 \(OCP\) の面積の最小値は
\(OC×HP×\displaystyle \frac{1}{2}=1×\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} ×\displaystyle \frac{1}{2}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}\)
より、セ＝３、ソ＝８