【センター試験ⅡＢ】平面ベクトル０２

センター試験・過去問研究

センター試験の過去問を徹底解説します。
センター試験とはどれくらいのレベルの問題が出るのか、どのような出題があるのか、まずは経験値をつみましょう！

まずはざっと図示をしましょう。

なにやら、チェバの定理を使えそうな図ですね。
実際、図形的に解いていくことも可能です。

まずは、ベクトルらしく、計算処理で解いていく解法からです。
最後に、図形的な処理についても解説します。

\(\overrightarrow{ AB }=\overrightarrow{ FB }-\overrightarrow{ FA }\)

\(=\overrightarrow{ q }-\overrightarrow{ p }\)

より、\(ア\) は選択肢２です。

ア＝２

内分の基礎公式通りですね。

\(\overrightarrow{ FD }=\displaystyle \frac{3}{1+3}\overrightarrow{ p }+\displaystyle \frac{1}{1+3}\overrightarrow{ q }\)

\(=\displaystyle \frac{3}{4}\overrightarrow{ p }+\displaystyle \frac{1}{4}\overrightarrow{ q }\)

より、ウ＝３、エ＝４、オ＝１、カ＝４

ここまで、基礎の基礎の基礎ってところですね。

\(\overrightarrow{ FD }=s \overrightarrow{ r }\) であるから、②により \(\overrightarrow{ q }=キク \overrightarrow{ p }+ケs \overrightarrow{ r }\) とありますね。

②は、\(\overrightarrow{ FD }=\displaystyle \frac{3}{4}\overrightarrow{ p }+\displaystyle \frac{1}{4}\overrightarrow{ q }\)

なので、\(s \overrightarrow{ r }=\displaystyle \frac{3}{4}\overrightarrow{ p }+\displaystyle \frac{1}{4}\overrightarrow{ q }\)

これを式変形すれば、
\(\overrightarrow{ q }=-3 \overrightarrow{ p }+4s \overrightarrow{ r }\)・・・③

より、キク＝ー３、ケ＝４

次に、 \(\overrightarrow{ FE }=t \overrightarrow{ p }\) であるから、\(\overrightarrow{ q }=\displaystyle \frac{t}{コ-サ} \overrightarrow{ p }-\displaystyle \frac{シ}{コ-サ} \overrightarrow{ r }\) をうめます。

先ほどと同じステップを踏めば、まずは、

\(\overrightarrow{ FE }=(1-a)\overrightarrow{ q }+a\overrightarrow{ r }\)

\(\overrightarrow{ FE }=t \overrightarrow{ p }\) であるから

\( t\overrightarrow{ p }=(1-a)\overrightarrow{ q }+a\overrightarrow{ r }\)

これを式変形すれば、

\(\overrightarrow{ q }=\displaystyle \frac{t}{1-a} \overrightarrow{ p }-\displaystyle \frac{a}{1-a} \overrightarrow{ r }\)・・・④

より、コ＝１、サ＝a、シ＝a

③と④により \(s=\displaystyle \frac{スセ}{ソ(コ-サ)}\) 、\(t=タチ(コ-サ)\) を埋めます。

③、④はどちらも \(\overrightarrow{ q }\) を、\(\overrightarrow{ p },\overrightarrow{ r }\) で表した式ですから、係数比較をせよ、ということですね。

\(\overrightarrow{ q }=-3 \overrightarrow{ p }+4s \overrightarrow{ r }\)・・・③

\(\overrightarrow{ q }=\displaystyle \frac{t}{1-a} \overrightarrow{ p }-\displaystyle \frac{a}{1-a} \overrightarrow{ r }\)・・・④

ですね。
\(\overrightarrow{ p }\) の係数より、

\(-3=\displaystyle \frac{t}{1-a}\)

より、\(t=-3(1-a)\)

より、タチ＝-3

\(\overrightarrow{ r }\) の係数より、

\(4s=-\displaystyle \frac{a}{1-a}\)

より、\(s=\displaystyle \frac{-a}{4(1-a)}\)

より、スセ＝－a、ソ＝４

\(\overrightarrow{ BE }=\overrightarrow{ FE }-\overrightarrow{ FB }\)

\(=t\overrightarrow{ p } -\overrightarrow{ q } \)

\(=-3(1-a)\overrightarrow{ p } -\overrightarrow{ q } \)

\(|\overrightarrow{ BE }|^2\)\(=9(1-a)^2|\overrightarrow{ p }|^2+6(1-a)\overrightarrow{ p } \cdot \overrightarrow{ q }+|\overrightarrow{ q }|^2\)

\(|\overrightarrow{ p }|=1\) なので、

\(|\overrightarrow{ BE }|^2\)\(=9(1-a)^2+6(1-a)\overrightarrow{ p } \cdot \overrightarrow{ q }+|\overrightarrow{ q }|^2\)

より、ツ＝９、テ＝６

いよいよ最後です。

\(|\overrightarrow{ AB }|=|\overrightarrow{ BE }|\) としているので、

\(|\overrightarrow{ AB }|^2=|\overrightarrow{ BE }|^2\) なので、

\(1-2\overrightarrow{ p } \cdot \overrightarrow{ q }+|\overrightarrow{ q }|^2\)\(=9(1-a)^2+6(1-a)\overrightarrow{ p } \cdot \overrightarrow{ q }+|\overrightarrow{ q }|^2\)

どんどん式変形していきます。

\(1-2\overrightarrow{ p } \cdot \overrightarrow{ q }\)\(=9(1-a)^2+6(1-a)\overrightarrow{ p } \cdot \overrightarrow{ q }\)

\(1-9(1-a)^2=6(1-a)\overrightarrow{ p } \cdot \overrightarrow{ q }+2\overrightarrow{ p } \cdot \overrightarrow{ q }\)

\(1-(9-18a+9a^2)=2(4-3a)\overrightarrow{ p } \cdot \overrightarrow{ q }\)

\(-8+18a-9a^2=2(4-3a)\overrightarrow{ p } \cdot \overrightarrow{ q }\)

\(-(3a-4)(3a-2)=2(4-3a)\overrightarrow{ p } \cdot \overrightarrow{ q }\)

\(\overrightarrow{ p } \cdot \overrightarrow{ q }=\displaystyle \frac{3a-2}{2}\)

より、トナ＝３a、二＝２、ヌ＝２

以上です。

以上です。

別解として、図形的処理についても書きます。
ぜひ学習して、ベクトルの問題を多面的に解けるようになりましょう。

参考・チェバの定理

問題の誘導にのっとって、ベクトルの計算をして解答してきました。
本問はとても簡単で、計算も面倒ではありませんから、この方針で何の問題もありません。
さて、本問の図は・・チェバの定理が頭に浮かびますね・・・

チェバの定理をはじめ、図形的に解くことも可能です。

見ていきましょう。

\(BF\) の延長線と \(AC\) の交点を、\(G\) とおきます。

まずはチェバの定理を適用します。

点 \(A\) から反時計まわりにまわると、

\(\displaystyle \frac{1}{3}×\displaystyle \frac{a}{1-a}×\displaystyle \frac{CG}{GA}=1\)

より、\(\displaystyle \frac{CG}{GA}=\displaystyle \frac{3(1-a)}{a}\)

そして、それぞれの辺の比から、以下の \(3\) つの三角形の面積比がわかります。

より、下図の面積比は、\(a:4(1-a)\)

これは、\(DF:FC\) の長さの比と一致します。

よって、\(\overrightarrow{ FD }=-\displaystyle \frac{a}{4(1-a)}\overrightarrow{ FC }\)

\(\overrightarrow{ FC }=\overrightarrow{ r }\)
\(\overrightarrow{ FD }=s \overrightarrow{ r }\)

とおいているので、

\(s=-\displaystyle \frac{a}{4(1-a)}\)

これにより（３）の、コ、サ、ス、セ、ソが求まりました。

また、下図の面積比は、\(1:3(1-a)\)

これは、\(AF:FE\) の長さの比と一致します。

よって、\(\overrightarrow{ FE }=-3(1-a)\overrightarrow{ FA }\)

\(\overrightarrow{ FA }=\overrightarrow{ p }\)
\(\overrightarrow{ FE }=t \overrightarrow{ p }\)

とおいているので、

\(t=-3(1-a)\)

これにより（３）の、タ、チが求まりました。

さらに、面積比とベクトルには以下の性質があります。

↑上図のとき

\(3(1-a)\overrightarrow{ p }+(1-a)\overrightarrow{ q }+a\overrightarrow{ r }=0\)・・・（Ⅰ）

それぞれのベクトルの後ろにある三角形の面積を係数として、和を取ると \(0\) になります。

非常に美しく、覚えやすい性質です。役に立つ機会も多いので、ぜひ覚えておきましょう。

本問では、先ほど求めた \(s,t\) と合わせて、

④式の穴を埋めることができます。

\(\overrightarrow{ q }=\displaystyle \frac{t}{コ-サ} \overrightarrow{ p }-\displaystyle \frac{シ}{コ-サ}\overrightarrow{ r }\)・・・④

\(s=-\displaystyle \frac{a}{4(1-a)}\)

\(t=-3(1-a)\)

コ＝１、サ＝４も求まっているので、

④式は、

\(\overrightarrow{ q }=\displaystyle \frac{t}{1-a} \overrightarrow{ p }-\displaystyle \frac{シ}{1-a}\overrightarrow{ r }\)

\(3(1-a)\overrightarrow{ p }+(1-a)\overrightarrow{ q }+a\overrightarrow{ r }=0\)・・・（Ⅰ）
を変形すると

\(\overrightarrow{ q }=-3 \overrightarrow{ p }-\displaystyle \frac{a}{1-a} \overrightarrow{ r }\)

係数を比較することにより、シ＝a

\(t=-3(1-a)\) なので、一致しています。