分母の有理化
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}=\displaystyle \frac{1× \sqrt{a}}{\sqrt{a}× \sqrt{a}}=\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{a}\)
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\displaystyle \frac{1× (\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})×( \sqrt{a}-\sqrt{b})}=\displaystyle \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}\)
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\displaystyle \frac{1× (\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})×( \sqrt{a}+\sqrt{b})}=\displaystyle \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\)
分母にある根号を外す計算処理を、分母の有理化といいます。
上の、２，３、番目の式変形は、中学数学の展開の公式の利用です。
\((\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=( \sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=a-b\)
「和と差の積は \(2\) 乗の差」です。
例題１
次の式の分母を有理化しなさい。
\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)
解説
\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)
\(=\displaystyle \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\)
\(=\sqrt{6}-2\)
例題２
次の式の分母を有理化しなさい。
\(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{5}+1}\)
解説
\(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{5}+1}\)
\(=\displaystyle \frac{3(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}\)
\(=\displaystyle \frac{3(\sqrt{5}-1)}{4}\)
例題３
次の式の分母を有理化しなさい。
\(\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}\)
解説
分母を \(2\) グループに分けます。
\(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}=(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\)
\(1+\sqrt{2}=t\) とおいて計算すると、
\(\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}\)
\(=\displaystyle \frac{1}{t+\sqrt{3}}\)
\(=\displaystyle \frac{1×(t-\sqrt{3})}{(t+\sqrt{3})(t-\sqrt{3})}\)
\(=\displaystyle \frac{t-\sqrt{3}}{t^2-3}\)
\(1+\sqrt{2}=t\) なので、\(t^2=3+2\sqrt{2}\)
これを代入します。
\(\displaystyle \frac{t-\sqrt{3}}{t^2-3}\)
\(=\displaystyle \frac{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}{(3+2\sqrt{2})-3}\)
\(=\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\)
\(=\displaystyle \frac{(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})×\sqrt{2}}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}\)
\(=\displaystyle \frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{4}\)
\(=\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)
これで求まりました。