放物線と \(x\) 軸との位置関係
\(2\) 次関数 \(y=ax^2+bx+c\) のグラフと \(x\) 軸との共有点の個数は、
\(2\) 次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解の個数と一致します。
つまり、判別式 \(D=b^2-4ac\) の符号を調べればわかります。
問題
\(y=2x^2+7x-15\) と \(x\) 軸の共有点の個数を求めなさい。
解説
\(y=2x^2+7x-15\) の判別式より、
\(D=7^2-4×2×(-15)=169 > 0\)
よって、グラフと \(x\) 軸の共有点の個数は \(2\) 個です。
参考・共有点の座標
ちなみに、
\(y=2x^2+7x-15\) と \(x\) 軸の共有点の座標は
\(0=2x^2+7x-15\)
を解いて
\(x=-5,\displaystyle \frac{3}{2}\) より、
\((-5,0)\) と \((\displaystyle \frac{3}{2},0)\) です。
※解の公式で解いても良いし、因数分解して解いても良いでしょう。
\(2x^2+7x-15=(2x-3)(x+5)\)
問題
\(y=x^2+mx+3\) のグラフが \(x\) 軸に接するとき、定数 \(m\) の値を求めなさい。
また接点の座標を求めなさい。
解説
\(D=0\) となる \(m\) を求めます。
\(D=m^2-4×1×3=0\)
これを解きます。
\(m^2=12\)
\(m= \pm 2\sqrt{3}\)
より、
\(m= 2\sqrt{3}\) のとき、
\(y=x^2+2\sqrt{3x}+3\)
\(=(x+\sqrt{3})^2\)
よって、接点の \(x\) 座標は \(-\sqrt{3}\) なので、
接点は \((-\sqrt{3},0)\)
\(m= -2\sqrt{3}\) のとき、
\(y=x^2-2\sqrt{3x}+3\)
\(=(x-\sqrt{3})^2\)
よって、接点の \(x\) 座標は \(\sqrt{3}\) なので、
接点は \((\sqrt{3},0)\)
問題３
\(2\) 次関数 \(y=x^2-3x+2m-1\) のグラフと \(x\) 軸の共有点の個数を求めなさい。
解説
判別式 \(D\) の符号について調べます。
\(D=(-3)^2-4×1×(2m-1)\)
\(=9-8m+4\)
\(=-8m+13\)
より、
\(D \gt 0\) のとき \(-8m+13 \gt 0\) より、\(\displaystyle \frac{13}{8}\gt m\) で共有点の個数 \(2\) 個
\(D = 0\) のとき \(-8m+13 = 0\) より、\(\displaystyle \frac{13}{8}= m\) で共有点の個数 \(1\) 個
\(D \lt 0\) のとき \(-8m+13 \lt 0\) より、\(\displaystyle \frac{13}{8}\lt m\) で共有点の個数 \(0\) 個