グラフの平行移動　

２次関数の平行移動

前回、とても重要な「平行移動」について学習しました。

\(2\) 次関数でいうと、
\(y=ax^2\) のグラフを、
\(x\) 軸方向に \(+p\)
\(y\) 軸方向に \(+q\)
平行移動すると、
\(y-q=a(x-p)^2\)
になります。

いくつか具体例を見ていきましょう。

\(y\) 軸方向のみの移動

例

次の \(2\) 次関数のグラフをかきなさい。
\(y=x^2+2\)

解説

これは
\(y-2=x^2\)
のことですね。
もっと変形するならば
\(y-2=(x-0)^2\)
です。

つまり、
\(y=x^2\) のグラフを
\(y\) 軸方向に \(+2\) 平行移動した放物線です。
※ \(x\) 軸方向に \(+0\) 平行移動した、とは \(x\) 軸方向の移動はしていませんね。

\(x\) 軸方向のみの移動

例

次の \(2\) 次関数のグラフをかきなさい。
\(y=-(x+3)^2\)

解説

これは
\(y=-x^2\) のグラフを
\(x\) 軸方向に \(-3\) 平行移動した放物線です。
\(y-q=a(x-p)^2\) の形に式変形することがポイントです。

\(y=-(x+3)^2=-\{x-(-3)\}^2\)

\(y\) 軸方向の移動はしていませんね。

\(x\) 軸方向の正、負、どちらの方向に移動したのか。
これに関わるのは、

\(y=-(x\) \(+\) \(3)^2\) の赤字の符号のみです。
\(y=-\{x\) \(-\) \((-3)\}^2\)

\(y=\) \(-\)\((x+3)^2\) の青字の符号は、無関係です。
\(y=\) \(-\) \(\{x-(-3)\}^2\)
こちらの符号は、グラフが上に凸か下に凸かに関わる符号です。

\(x\) 軸方向、\(y\) 軸方向、両方向の移動

例

次の \(2\) 次関数のグラフをかきなさい。
\(y=2(x-1)^2+4\)

解説

これは
\(y-4=2(x-1)^2\)
のことですね。

つまり、
\(y=2x^2\) のグラフを
\(x\) 軸方向に \(+1\)
\(y\) 軸方向に \(+4\) 平行移動した放物線です。

※図の比率は、不正確です。
厳密にかくと、\(y=2x^2\) のグラフはかなり縦長になります。
フリーハンドで図示する場合、比率の正確さはあまり気にする必要はありません。