2次不等式 共有点なし
\(2\) 次関数のグラフが、 \(x\) 軸と共有点を持たないときの \(2\) 次不等式を見ていきましょう。
\(2\) 次不等式は、必ず図示をして考えましょう。
例題１
次の \(2\) 次不等式を解きなさい。
\(x^2+3x+4 \geqq 0\)
解説
\(y=x^2+3x+4\) のグラフをかきましょう。
グラフと \(x\) 軸との位置関係や、共有点の座標が知りたいのです。
\(x^2+3x+4=0\) を解くと、解がありません。
判別式
\(D=3^2-4×1×4=-7 \lt 0\)
からわかります。
よって、\(y=x^2+3x+4\) のグラフは下図のようになります。
\(y \geqq 0\) となる範囲が求める \(x\) の範囲となります。
求める解は、「すべての実数」です。
等号でも不等号でも同じ結論
\(x^2+3x+4 \geqq 0\)
\(x^2+3x+4 \gt 0\)
\(x\) 軸との共有点がない場合、等号なのか、不等号なのか、の違いはありません。
どちらの \(2\) 次不等式を解いても、上のようなグラフになり、
求める解は、「すべての実数」になります。
例題２
次の \(2\) 次不等式を解きなさい。
\(2x^2+4x+7 \leqq 0\)
解説
\(2x^2+4x+7=0\) を解くと、解がありません。
判別式からわかります。
よって、\(y=2x^2+4x+7\) のグラフは下図のようになります。
\(y \leqq 0\) となる範囲が求める \(x\) の範囲である。
求める解は、「なし」です。
等号でも不等号でも同じ結論
\(2x^2+4x+7 \leqq 0\)
\(2x^2+4x+7 \lt 0\)
\(x\) 軸との共有点がない場合、等号なのか、不等号なのか、の違いはありません。
どちらの \(2\) 次不等式を解いても、上のようなグラフになり、
求める解は、「なし」になります。