直線・曲線の囲む部分の面積 \(\displaystyle \frac{1}{6}\)公式の利用
公式
\(\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx= -\displaystyle \frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \)
を面積を求めるときに使用できるタイプを学習します。
どのようなときに使えるかというと、
\(y=f(x)\) と \(y=g(x)\) だけに囲まれた部分の面積を求めるときです。
より正確に補足すると、\(\{f(x)-g(x)\}\) が \(2\) 次式になるときです。
\(f(x)-g(x)=ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\) ならば、
\(y=f(x)\) と \(y=g(x)\) に囲まれた部分の面積は、
\(\displaystyle \int_\alpha^\beta \{f(x)-g(x)\} dx\)
\(=\displaystyle \int_\alpha^\beta a(x-\alpha)(x-\beta) dx\)
\(=a\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx\)
\(=a×\{-\displaystyle \frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\} \)
例題１
次の曲線と直線とで囲まれた部分の面積を求めなさい。
\(y=-x^2+x+6\)
\(x\) 軸
解説
\(y=-x^2+x+6\)
\(=-(x+2)(x-3)\)
よって、下図のようになっています。
\(S=\displaystyle \int_{-2}^3 (-x^2+x+6) dx\)
\(=\displaystyle \int_{-2}^3 -(x^2-x-6) dx\)
\(=-\displaystyle \int_{-2}^3 (x+2)(x-3) dx\)
\(=-\displaystyle \int_{-2}^3 \{x-(-2)\}(x-3) dx\)
これは公式
\(\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx= -\displaystyle \frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \)
が使える形です。
\(-\displaystyle \int_{-2}^3 \{x-(-2)\}(x-3) dx\)
\(=(-1)×-\displaystyle \frac{1}{6}\{3-(-2)\}^3\)
\(=\displaystyle \frac{125}{6}\)
例題２
次の曲線と直線とで囲まれた部分の面積を求めなさい。
\(y=-2x^2+12x\)
\(y=2x+8\)
解説
放物線と直線の交点を求めます。
\(-2x^2+12x=2x+8\)
\(-2x^2+10x-8=0\)
\(x^2-5x+4=0\)
\((x-1)(x-4)=0\)
\(x=1,4\)
よって、下図のようになります。
\(S=\displaystyle \int_1^4 \{-2x^2+12x)-(2x+8)\}dx\)
\(=\displaystyle \int_1^4 (-2x^2+10x-8) dx\)
\(=\displaystyle \int_1^4 -2(x-1)(x-4) dx\)
\(=-2\displaystyle \int_1^4 (x-1)(x-4) dx\)
※交点を求めた時点で、この形に式変形できることがわかります。
これは公式
\(\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx= -\displaystyle \frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \)
が使える形です。
\(-2\displaystyle \int_1^4 (x-1)(x-4) dx\)
\(=(-2)×\{-\displaystyle \frac{1}{6}(4-1)^3\}\)
\(=9\)
例題３
次の \(2\) つの曲線に囲まれた部分の面積を求めなさい。
\(y=x^2+1\)
\(y=-x^2+2x+1\)
解説
\(2\) つの放物線の交点を求めます。
\(x^2+1=-x^2+2x+1\)
\(2x^2-2x=0\)
\(2x(x-1)=0\)
\(x=0,1\)
よって、下図のようになります。
\(S=\displaystyle \int_0^1 \{(-x^2+2x+1)-(x^2+1)\}dx\)
\(=\displaystyle \int_0^1 (-2x^2+2x) dx\)
\(=\displaystyle \int_0^1 -2x(x-1) dx\)
\(=-2\displaystyle \int_0^1 (x-0)(x-1) dx\)
※交点を求めた時点で、この形に式変形できることがわかります。
これは公式
\(\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx= -\displaystyle \frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \)
が使える形です。
\(-2\displaystyle \int_0^1 (x-0)(x-1) dx\)
\(=(-2)×\{-\displaystyle \frac{1}{6}(1-0)^3\}\)
\(=\displaystyle \frac{1}{3}\)